Các bài toán về hàm số lượng giác 11 thường có trong nội dung đề thi cuối kỳ và trong đề thi THPT quốc gia, đây cũng là nội dung kiến thức quan trọng mà các em cần nắm vững.
Bạn đang xem: Các Hàm Số Lượng Giác Lớp 11 Điển Hình Và Bài Tập Ôn Luyện Từ A
Bài viết này sẽ hệ thống lại các dạng toán về hàm số lượng giác, mỗi dạng toán sẽ có ví dụ và hướng dẫn giải chi tiết để các em dễ dàng vận dụng khi gặp các dạng bài tập hàm số lượng giác tương tự.
I. Lý thuyết về Hàm số lượng giác
1. Hàm số sin: y = sinx
+ Tập xác định: và
+ y = sinx là hàm số lẻ
+ y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.
- Hàm số y = sinx nhận các giá trị đặc biệt:
° sinx = 0 khi
° sinx = 1 khi
° sinx = -1 khi
+ Đồng thị hàm số y = sinx có dạng:
2. Hàm số cosin: y = cosx
+ Tập xác định: và
+ y = cosx là hàm số chẵn
+ y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.
- Hàm số y = cosx nhận các giá trị đặc biệt:
° cosx = 0 khi
° cosx = 1 khi
° cosx = -1 khi
+ Đồng thị hàm số y = cosx có dạng:
3. Hàm số tan
+ Hàm số tan:
+ Tập xác định:
+ y = tanx là hàm số lẻ
+ y = tanx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.
- Hàm số y = tanx nhận các giá trị đặc biệt:
° tanx = 0 khi
° tanx = 1 khi
° sinx = -1 khi
+ Đồng thị hàm số y = tanx có dạng:
4. Hàm số cot
+ Hàm số cot:
+ Tập xác định:
+ y = cotx là hàm số lẻ
+ y = cotx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.
- Hàm số y = cotx nhận các giá trị đặc biệt:
° cotx = 0 khi
° cotx = 1 khi
° sinx = -1 khi
+ Đồng thị hàm số y = cotx có dạng:
II. Các dạng toán về hàm số lượng giác
° Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số
* Phương pháp:
- Tìm điều kiện của biến số x để hàm số xác định và chú ý đến tập xác định của các hàm số lượng giác.
• Ví dụ 1 (Bài 2 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11): Tìm tập xác định của hàm số:
a) b)
c) d)
° Lời giải bài 2 (trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11):
a) Hàm số xác định:
⇔ sinx ≠ 0
⇔ x ≠ kπ, (k ∈ Z).
- Kết luận: Tập xác định của hàm số là D = R{kπ, k ∈ Z}.
b) Hàm số xác định:
- Vì -1 ≤ cosx ≤ 1, ∀x ∈ R, nên
- Do đó, (1) ⇔ (1 - cosx)≠0 ⇔ cosx≠1 ⇔ x≠k2π.
- Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là D = R{k2π, k ∈ Z}.
c) Hàm số xác định:
- Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là:
\
d) Hàm số xác định:
- Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là:
\
Xem thêm: thích minh pháp là ai
° Dạng 2: Xác định hàm số lượng giác là hàm chẵn, hàm lẻ
* Phương pháp:
♦ Để xác định hàm số y=f(x) là hàm chẵn hay lẻ, ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm y=f(x)
Bước 2: Với x bất kỳ: x ∈ D, ta chứng minh -x ∈ D
Bước 3: Tính f(-x):
◊ Nếu f(-x) = f(x), ∀x ∈ D thì hàm số y =f(x) là hàm số chẵn;
◊ Nếu f(-x) = -f(x), ∀x ∈ D thì hàm số y =f(x) là hàm số lẻ;
◊ Nếu có x ∈ D:
f(-x) ≠ f(x) thì hàm số y =f(x) KHÔNG là hàm số chẵn;
f(-x) ≠ -f(x) thì hàm số y =f(x) KHÔNG là hàm số lẻ;
• Ví dụ 1: Khảo sát tính chẵn lẻ của hàm số sau:
a) y = tanx + 3sinx
b) y = 2cosx + sin2x
c) y = 5sin2x.cos3x
d) y = 2sinx + 3cosx
* Lời giải:
a) y = tanx + 3sinx
+ Tập xác định: 
+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D
+ Ta có: f(-x) = tan(-x) + 3sin(-x) = -tanx - 3sinx = -(tanx + 3sinx) = -f(x), ∀x ∈ D.
⇒ y = tanx + 3sinx là hàm số lẻ.
b) y = 2cosx + sin2x
+ Tập xác định:
+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D
+ Ta có: f(-x) = 2cos(-x) + sin2(-x) = 2cos(x) +
⇒ y = 2cosx + sin2x là hàm số chẵn.
c) y = 5sin2x.cos3x
+ Tập xác định:
+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D
+ Ta có: f(-x) = 5sin(-2x)cos(-3x) = -5sin2x.cos3x = -f(x),∀x ∈ D.
⇒ y = 5sin2x.cos3x là hàm số lẻ.
d) y = 2sinx + 3cosx
+ Tập xác định:
+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D
+ Ta xét với
⇒ y = 2sinx + 3cosx KHÔNG là hàm số chẵn cũng KHÔNG là hàm số lẻ.
* Lưu ý: Để chứng minh hàm số y=f(x) không chẵn (hoặc không lẻ) thì ta cần chỉ ra có tồn tại x ∈ D sao cho: f(-x) ≠ f(x) (hoặc f(-x) ≠ -f(x)).
° Dạng 3: Hàm số tuần hoàn, xác định chu kỳ tuần hoàn
* Phương pháp:
♦ Để chứng minh y=f(x) (có tập xác định D) tuần hoàn, cần chứng minh có T ∈ R sao cho:
1) x + T ∈ D; x - T ∈ D, ∀x ∈ D.
2) f(x+T) = f(x),∀x ∈ D.
♦ Giả sử hàm số y=f(x) tuần hoàn, để tìm chu kỳ tuần hoàn ta cần tìm số dương T nhỏ nhất thỏa mãn 2 tính chất 1) và 2) ở trên.
• Ví dụ 1: Chứng minh hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu kỳ π.
* Lời giải:
- Hàm số y = f(x) = sin2x
+ TXĐ: D=R; x + π ∈ D, x - π ∈ D, ∀x ∈ D.
+ Ta có: f(x + π) = sin2(x + π) = sin(2x + 2π) = sin2x = f(x).
⇒ Hàm số y = sin2x là hàm số tuần hoàn.
+ Giả sử có a, với 0 • Ví dụ 2: Chứng minh hàm số là hàm số tuần hoàn và tìm chu kỳ tuần hoàn của nó.
* Lời giải:
- Hàm số:
+ TXĐ:
⇒
+ Ta có:
+ Ta có:
⇒ Hàm số là hàm số tuần hoàn.
+ Giả sử có a:
+ Hàm
• Ví dụ 2: Xác định các khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số y = |sinx| trên đoạn <0;2π>.
* Lời giải:
+ Từ đồ thị hàm số y = |sinx| ở trên, ta xét trong đoạn<0;2π> , ta có:
- Hàm số đồng biến khi
- Hàm số nghịch biến khi
° Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số lượng giác
* Phương pháp:
- Vận dụng tính chất: -1 ≤ sinx ≤ 1; -1 ≤ cosx ≤ 1
Xem thêm: đạt ma là ai
• Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các hàm số sau:
Bình luận